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<!DOCTYPE html>

<title>Testfunktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Testfunktion</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Testfunktionen</b> bezeichnet man in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> gewisse Typen von <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a>, die in der <a href="Distribution_(Mathematik)" title="Distribution (Mathematik)">Distributionentheorie</a> eine wesentliche Rolle spielen. Üblicherweise fasst man Testfunktionen eines bestimmten Typs zu einem <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> zusammen. Die zugehörigen Distributionen sind dann lineare <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionale</a> auf diesen Vektorräumen. Ihr Name rührt daher, dass man die Distributionen (im Sinne linearer <a href="Abbildung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Abbildung (Mathematik)">Abbildungen</a>) auf die Testfunktionen anwendet und dadurch <i>testet</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Es gibt verschiedene Arten von Testfunktionen. In der mathematischen Literatur werden häufig der Raum der <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatten Funktionen</a> mit kompaktem Träger oder der <a href="Schwartz-Raum" title="Schwartz-Raum">Schwartz-Raum</a> als Testfunktionenraum bezeichnet.

</p><p>Testfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>, etwa bei der Einführung des Begriffs der <a href="Schwache_Ableitung" title="Schwache Ableitung">schwachen Ableitung</a>, sowie in der Theorie der <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a>. Ihre Ursprünge liegen in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> und den <a href="Ingenieurwissenschaften" title="Ingenieurwissenschaften">Ingenieurwissenschaften</a> (mehr dazu im Artikel <a href="Distribution_(Mathematik)" title="Distribution (Mathematik)">Distribution (Mathematik)</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Glatte_Funktionen_mit_kompaktem_Träger"><span id="Glatte_Funktionen_mit_kompaktem_Tr.C3.A4ger"></span>Glatte Funktionen mit kompaktem Träger</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

<p>Eines der häufigsten Beispiele für einen Testfunktionenraum ist die Menge

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\,|\,\operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ec9f1ad241a67b796e2e05a519761a2a637431e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.938ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega )\,|\,\operatorname {supp} \,(\phi )\mathrm {~ist~kompakte~Teilmenge~von~} \Omega \},}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>also der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> <a href="Tr%C3%A4ger_(Mathematik)" title="Träger (Mathematik)">Träger</a> haben, das heißt außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind.

</p><p>Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenraum</a> noch eine <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">Topologie</a> definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine <a href="Funktionenfolge" title="Funktionenfolge">Funktionenfolge</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12161a25f21ece793f46cdef199d868d690bec56.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.297ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"></span>

mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/655be8252588d0a04d6f62ed0b48496cca756807.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.296ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"></span>

konvergiert gegen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da404405931b4843facedeb034625cd306468e5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.966ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ \phi }" loading="lazy"></span>, wenn es ein Kompaktum

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K\subset \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/685a8b4e07d58637ae0e38517fc1009c614677b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.842ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K\subset \Omega }" loading="lazy"></span>

gibt mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subset K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/257b047092e5c8d881fd888e9f9dc2492a0e85af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subset K}" loading="lazy"></span>,

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/021bcec490af9160b15db5cde2ce7ddc61ed3ef4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.063ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K}" loading="lazy"></span>

für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"></span> und

</p>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}-\phi \right)(x)\right|=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/482b4a6b07d7af18dd42ad9b30ee23e99d479332.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.019ex; width:30.824ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \lim _{j\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\left(\phi _{j}-\phi \right)(x)\right|=0}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>für alle <a href="Multiindex" title="Multiindex">Multiindizes</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/310828fd2296815670d220826d562bb6ba6f5f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.225ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}" loading="lazy"></span> gilt.

</p><p>Der Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aa0ab489393b3d3a2962fcaa861528871f223f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"></span>, zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird in der Literatur häufig mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"></span> notiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<p>Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [-b,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [-b,b]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/748f7ef451a55193dffa8c3f65a0eaadce1dfa41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.131ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [-b,b]}" loading="lazy"></span> ist

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{b}(x):={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4629bfeca1d8b8f791e011aae15a2172c5b20e35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:30.884ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{b}(x):={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Ein weiteres Beispiel ist die Familie von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5ed72bb2fb83c421d84887d252bbee98aa6eae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.119ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}" loading="lazy"></span>-Funktionen mit Träger <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,r]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,r]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e37e877243c4e605346083360f52c6faea13009e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,r]}" loading="lazy"></span> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r>0}" loading="lazy"></span>)

</p>

<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{r}(x):=f(x)\cdot f(r-x),{\text{ wobei }}f(x):={\begin{cases}0&x\leq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)&x>0\end{cases}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext> wobei </mtext>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{r}(x):=f(x)\cdot f(r-x),{\text{ wobei }}f(x):={\begin{cases}0&x\leq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)&x>0\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da43506b0f395ff94ddf78229e2b596e992c2adc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.215ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle g_{r}(x):=f(x)\cdot f(r-x),{\text{ wobei }}f(x):={\begin{cases}0&x\leq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)&x>0\end{cases}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

<p>Beliebige Ableitungen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cb1e3f43288b118761edf6cd8d785e02a519c64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"></span> liegen ebenfalls in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aa0ab489393b3d3a2962fcaa861528871f223f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"></span>. Das liegt an der Eigenschaft <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in C^{\infty }(\Omega )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in C^{\infty }(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d356c3b6c60b8b16af0611c57b3c2ed3985e2cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in C^{\infty }(\Omega )}" loading="lazy"></span> und an der Tatsache, dass der Träger einer Funktion den Träger ihrer Ableitung enthält.

</p><p>Sei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79774d994aac0be34ef390915fed12cbce816f6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> eine <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offene Teilmenge</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<ul><li>Dann ist der Testfunktionenraum ein <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexer Vektorraum</a>, genauer ein <a href="(LF)-Raum" title="(LF)-Raum">(LF)-Raum</a>.</li>

<li>Der Testfunktionenraum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad469807322e9c9056a553ffb249200e917f246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}" loading="lazy"></span> erfüllt die <a href="Satz_von_Heine-Borel" title="Satz von Heine-Borel">Heine-Borel-Eigenschaft</a>.</li>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40967820fe4c745ac9e5246e47e5897b08b2dc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> ist ein Unterraum des <a href="Schwartz-Raum" title="Schwartz-Raum">Schwartz-Raums</a>. Er liegt sogar <a href="Dichte_Teilmenge" title="Dichte Teilmenge">dicht</a> im Schwartz-Raum und ist somit auch dicht in <a href="Lp-Raum" title="Lp-Raum"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5cf52173a2565b7aa70dc34922de083d57bfbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span></a> für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq p<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq p<\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d42661a6d23dcde0fb7ae1b611e233958d13da9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.853ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1\leq p<\infty }" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schwartz-Raum">Schwartz-Raum</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Schwartz-Raum" title="Schwartz-Raum">Schwartz-Raum</a></i></div>

<p>Ein weiterer Raum, der häufig als Testfunktionenraum bezeichnet wird, ist der Raum der schnell fallenden Funktionen, auch bekannt als der <i>Raum der schwartzschen Testfunktionen</i> oder <i>Schwartz-Raum</i>. Sein Dualraum heißt <a href="Temperierte_Distribution" title="Temperierte Distribution">Raum der temperierten Distributionen</a> und wird mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78ca4a0bc72d2677618a39482625e3f749990455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.908ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> notiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Raum_der_glatten_Funktionen">Raum der glatten Funktionen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">Glatte Funktion</a></i></div>

<p>Der Raum der glatten Funktionen auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> zusammen mit ihrer <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexen Topologie</a>, die durch die Familie von <a href="Halbnorm" title="Halbnorm">Halbnormen</a>

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in C^{\infty }(D)\mapsto \sum _{|\alpha |=m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}f(x)\right|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1535d4adfba54feb36503e57e7a4ceec9c838efc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:34.583ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle f\in C^{\infty }(D)\mapsto \sum _{|\alpha |=m}\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}f(x)\right|}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>induziert wird, findet auch Anwendung als Testfunktionenraum. Dieser Raum wird mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5ccebfa0661d7113b6f8f1f3e48692c84380ba2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.017ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> notiert. Sein Dualraum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6b31e955bf24d690800eff9e33f552adcef3311.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.727ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> ist der Raum der <a href="Distribution_mit_kompaktem_Tr%C3%A4ger" class="mw-redirect" title="Distribution mit kompaktem Träger">Distributionen mit kompaktem Träger</a>.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sobolev-Räume"><span id="Sobolev-R.C3.A4ume"></span>Sobolev-Räume</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Sobolev-Raum" title="Sobolev-Raum">Sobolev-Raum</a></i></div>

<p>Auch der Sobolev-Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f22c7397467469bcfd27f157c3ed8cb3fcfb5b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.898ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> für eine beliebige reelle Zahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k>0}" loading="lazy"></span> kann als Testfunktionenraum aufgefasst werden. Dieser Unterraum von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f15dffc817bd5f8767061d98adb57caf3519f46f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.343ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> ist ebenfalls ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>. Bezüglich der <a href="Duale_Paarung" title="Duale Paarung">dualen Paarung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle (u,v):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x){\overline {v(x)}}\mathrm {d} x}">

<msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle (u,v):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x){\overline {v(x)}}\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea401822ff7a3031fef71f4ef0e5737508b9abf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.387ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle (u,v):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u(x){\overline {v(x)}}\mathrm {d} x}" loading="lazy"></span> ist allerdings <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{-k}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{-k}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96af2d0e06a1bb7dec7b952c23325cfdd6153706.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.183ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle H^{-k}(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> der entsprechende Distributionenraum.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Satz_von_Riesz-Markov">Der Satz von Riesz-Markov</h2></div>

<p>Mit Hilfe des <a href="Darstellungssatz_von_Riesz-Markow" title="Darstellungssatz von Riesz-Markow">Darstellungssatzes von Riesz-Markow</a> lässt sich der Dualraum des Raums der stetigen Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> schreiben als

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (C(K))^{\prime }\cong M(K),}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1be616a8871607f89be3495784272795302857dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.198ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (C(K))^{\prime }\cong M(K),}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(K)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(K)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e4d3397e881be75e3eaf811c3a9b83df69af9cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(K)}" loading="lazy"></span> der Raum der regulären Borelmaße ist. Die Isomorphie ist dadurch gegeben, dass ein Funktional <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I:C(K)\rightarrow \mathbb {C} ,}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I:C(K)\rightarrow \mathbb {C} ,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d0a1dd3d9173a8f5086c0ee040747cf752aa330.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I:C(K)\rightarrow \mathbb {C} ,}" loading="lazy"></span> stets in der Form

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I(f)=\int f(x)d\mu (x),\quad \mu \in M(K),}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0a8860271519e8057392908f8370d0286b7b151.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.676ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle I(f)=\int f(x)d\mu (x),\quad \mu \in M(K),}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>geschrieben werden kann. Die Integralschreibweise legt nahe, dass es auch für diese beiden Räume möglich ist, Distributionentheorie zu betreiben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeinere_Testfunktionenräume"><span id="Allgemeinere_Testfunktionenr.C3.A4ume"></span>Allgemeinere Testfunktionenräume</h2></div>

<p>Prinzipiell lässt sich das Konzept von Testfunktionen und Distributionen auf andere Beispiele übertragen, in denen man einen Funktionenraum und seinen <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> zur Verfügung hat. Der Grundgedanke besteht darin, dass man einen Vektorraum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"></span> von Funktionen betrachtet. Da man häufig auf Begriffe wie <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">Stetigkeit</a> und <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Konvergenz</a> zurückgreifen möchte, sollte der Vektorraum ein <a href="Topologischer_Vektorraum" title="Topologischer Vektorraum">topologischer Vektorraum</a> oder besser noch ein <a href="Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexer Raum</a> sein. Die Distributionen, die zu dem Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"></span> gehören sind dann Elemente des <a href="Dualraum#Topologischer_Dualraum" title="Dualraum">topologischen Dualraums</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9aa9604b7a8bf977f2d4e6621c693a95753f3566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.477ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Mit Hilfe der <a href="Duale_Paarung" title="Duale Paarung">dualen Paarung</a> kann man das Anwenden einer Distribution <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a56d9b53e166963ffee9b4389c4a46eef79c5d45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.954ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }}" loading="lazy"></span> auf eine Testfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb0d0a97f50a3a6be808b5026f30dbc33eef3042.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.911ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}}" loading="lazy"></span> in der Form

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7f58adaa896c4eb312521d99c67481d7d1e2394.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>schreiben. Die Notation erinnert stark an ein <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a>, und in der Tat denkt man dabei häufig an das <a href="Quadratintegrierbar#Der_Hilbertraum_L2" class="mw-redirect" title="Quadratintegrierbar"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba162c66ca85776c83557af5088cc6f8584d1912.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.637ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L^{2}}" loading="lazy"></span>-Skalarprodukt</a>, so dass man (formal) auch

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle =\int f(x)T(x)dx}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16f7d66d7f204866b6966f7051b99060881c04ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.998ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T(f)=\langle f,T\rangle =\int f(x)T(x)dx}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>schreibt (beachte, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> keine Funktion ist und das Integral daher nicht immer <a href="Wohldefiniertheit" title="Wohldefiniertheit">wohldefiniert</a> ist). Damit diese Interpretation einen Sinn ergibt, verlangt man in aller Regel, dass der Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"></span> ein stetig eingebetteter Teilraum eines Vektorraums integrierbarer Funktionen ist, z. B. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecd07ca0ddbd572f2d24b963417cf7c9abd4fa3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.72ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{lok}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{lok}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991088aabe1d93e8fb7fc03eea9e1bedff5e7c16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.665ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L_{lok}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hui-Hsiung Kuo: <i>White Noise Distribution Theory</i>, CRC Press, 1996, ISBN 0-8493-8077-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Dirk Werner: <cite style="font-style:italic">Funktionalanalysis</cite>. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-21381-3, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>426</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Testfunktion&rft.au=Dirk+Werner&rft.btitle=Funktionalanalysis&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=3540213813&rft.pages=426&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Man Wah Wong: <cite style="font-style:italic">An introduction to pseudo-differential operator</cite>. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10–11</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Testfunktion&rft.au=Man+Wah+Wong&rft.btitle=An+introduction+to+pseudo-differential+operator&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.isbn=9789810238131&rft.pages=10-11&rft.place=River+Edge%2C+N.J.&rft.pub=World+Scientific" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Lars_H%C3%B6rmander" title="Lars Hörmander">Lars Hörmander</a>: <i>The Analysis of Linear Partial Differential Operators.</i> Band 1: <i>Distribution Theory and Fourier Analysis.</i> Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (<i>Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</i> 256), S. 44–45.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>